절점 자유도와 요소 자유도, 해석 용어 5

자유도 (Degree of Freedom)

자유도는 모든 분야에서 광범위하게 사용되는 용어이기 때문에 어떤 특정한 분야에 한정하여 이 용어를 일률적으로 정의할 수는 없습니다. 다만 이 용어의 개략적인 의미는 주어진 대상(집단)의 특정한 특성을 완전히 결정하기 위해 필요한 최소한의 독립적인 선태의 개수 정도입니다.

예를 들어 열 명의 사람들 중에서 현재 네 명은 주말에 스케줄이 잡혀 있는 반면 나머지 여섯 명은 스케줄이 잡혀 있지 않다고 생각해 봅시다. 그러면 열명을 주어진 대상으로 생각하고 스케줄을 특성이라고 한정할 때, 이 집단의 주말 스케줄에 대한 자유도는 6이 됩니다. 하지만 며칠이 지나 추가로 두 명의 스케줄이 정해졌다면 자유도는 4로 줄어들게 됩니다. 

다른 예를 들면 비행 중인 항송기의 위치는 위도, 경도 그리고 고도에 의하여 결정됩니다. 이경우 한대의 항공기는 주어진 대상에 해당되고 그 위치는 특성에 해당됩니다. 그리고 이 특성을 결정하기 위해 필요한 최소한의 독립적인 변수는 세 개이므로 자유도는 3이 됩니다. 이처럼 자유도는 대상과 그 대상의 특성이 무엇인가에 따라 달라지게 됩니다. 만약 항공기의 위치뿐만 아니라 비행 자세까지도 특성에 포함시키면 자유도는 6으로 늘어나게 됩니다. 왜냐하면 이 특성은 항공기 특정 부위의 위도, 경도 및 고도상의 위치뿐만 아니라, 특정 부위를 중심으로 한 세 축 방향으로의 항공기의 회전 각도에 의하여 완전히 결정되기 때문입니다.

Ax=b라는 행렬식에 있어서 A행렬이 NxN의 크기라면 x는 N개의 자유도를 가지게 됩니다. 하지만 만약 이 행렬방정식이 두 개의 구속조건을 가진다면 x는 N-2개의 자유도를 가지게 됩니다. 왜냐하면 N개의 마지수 중에서 두 개는 나머지 미지수들과의 구속 관계에 의해 자동적으로 결정되기 때문입니다.

마지막 예로는 로봇과 인체 골격의 동작상태 입니다. 로봇은 유한개의 관절과 구동 모터로 구성되어 있기 때문에 로봇 전체의 동작은 유한개의 자유도로 표현됩니다. 반면 인체는 자유자재로 운직일 수 있기 때문에 무한대의 자유도를 가지게 됩니다.

 

절점 자유도 (Nodal degree of freedom)

유한요소 해석(Finite Element Analysis)에서는 구하고자 하는 물체의 거동을 요소망(Mesh)내 각 유한요소(Finite element)의 절점(node)에서의 값을 구하여 표현합니다. 이것은 거동을 근사화시키기 위해 사용되는 기저 함수 (Basis Function)의 특성에 따라 달라질 수도 있는데, 보편적으로 사용되는 기저 함수는 라그랑지(Lagrange) 형식으로 각각의 기저 함수는 자신의 함수 번호와 일치하는 절점에서는 1의 값을 가지고 나머지 절점에서는 모두 0이 됩니다

하지만 계층적 기저함수(Jierarchical basis function)에서는 이러한 특성이 만족되지 않습니다. 따라서 라그랑지 혹은 계층적 유형에 따라 요소 내 절점의 위치는 판이하게 달라집니다. 보편적으로 사용되는 라그랑지 유형의 요소에 있어서 절점은 요소의 각 모서리(vertex), 변(side), 면(Surface) 그리고 내부(internal)에 위치합니다. 요소의 차수(Element order)와 무관하게 각 모서리는 항상 절점을 자지지만 나머지 위치에서의 절점 유무는 요소 차수에 의존하게 됩니다.

각 절점에서 물체의 거동값을 절점 자유도라고 부르는데, 각 절점에서의 자유도 개수는 풀고자 하는 물체 거동의 유형에 따라 좌우됩니다. 예를 들어, 물체 내 온도 분포를 구하고자 하는 경우 각 절점에서의 자유도(Degree of freedom)는 하나입니다. 하지만, 유속과 압력을 동시에 구하고자 하는 경우에는 각 절점에서의 자유도는 네 개가 됩니다.

따라서, 온도 분포를 구하는 해석문제에 있어서 총자유도는 요소 망내 총 절점수와 일치하지만, 거동 값이 방향별 성분을 가지는 경우나 연계 해석(Coupled analysis)과 같이 여러 유형의 거동들을 동시에 구하는 경우는 총자유도는 총 절점수보다 훨씬 많아지게 됩니다.

 

요소 자유도 (Element degree of freedom)

유한요소 해석(Finite Element Analysis)을 위해 대상이 되는 물체의 기하학적 영역을 여러개의 작은 세부 영역들로 쪼개는 작업을 요소 망(Mesh)을 생성한다고 말한다. 그리고 각각의 세부 영역들을 유한요소(Finite Element)라고 부르는데, 이와 같이 요소 망을 생성하는 이유는 구하고자 하는 ㅇ물체의 거동을 근사하기 위해 사용되는 기저 함수(Basis function)를 아무리 물체의 형상이 복잡하더라도 체계적이고 효과적으로 정의하기 위함입니다. 그리고 유한요소법이라는 이름이 붙여지게 된 근원이 바로 여기에 있습니다.

각각의 요소는 절점(Node)이라 불리는 특정한 점들을 가지고 있는데, 이 절점들에서 물체의 거동값을 계산하여 요소 망 전체에 걸친 거동의 전체 분포를 최종적으로 표현합니다. 한편, 각 절점에서의 물체의 거동 값은 물체 거동을 계산하기 위해 수치적으로 변환시킨 행렬 방정식의 미지수, 즉 자유도(Degree of freedom)에 해당됩니다.

한 절점이 가지게되는 미지수의 개수를 절점 자유도(Nodal degree of freedom)라고 부르며, 풀고자 하는 물체 거동의 유형에 따라 달라집니다. 요소 자유도란 한 요소 내 각 절점에서의 자유도를 모두 합한 자유도를 의미합니다. 예를 들어 절점 자유도가 3인 4개의 절점으로 구성되어 있는 사각형 요소의 요소 자유도는 12가 됩니다.