대칭(Symmetric)과 반사대칭, 해석 용어 7

대칭 문제 (symmetric Problem)

어떠한 물체나 자연계의 현상이 어디를 중심으로 대칭(Symmetry)이 되는가를 판단하기 위해서는 두가지 기준이 필요합니다. 첫번째는 대칭성(Symmetry)을 판단하기 위한 대상과 더불어 이 대상과 상관된 인자들이 명확히 설정되어야 합니다. 두번째로는 기하학적으로 어디를 기준으로 대칭성(Symmetry)을 판단할 것인가가 설정되어야 합니다. 대칭(Symmetry)이 되는 기준은 물체 내 임의의 면(Plane) 또는 회전하는 축(Axis)이 된다. 대칭성(Symmetry)을 판단하기 위한 대상과 더불어 이 대상과 상관된 인자들의 경우는 관심이 되는 물리량이 무엇인가에 따라 대칭(Symmetry)이 될 수도 있고 그렇지 않을 수도 있습니다.

예를 들어 사이다 캔이 내압에 의해 면형된 형상은 원주방향으로 동일합니다. 하지만 사이다 캔이 임의대로 바닥에 부딪혀 변형(Deformation)이 발생된 모양은 더 이상 회전방향으로 일정하지 않습니다. 이 경우 관심의 대상은 형상이 아니라 변형된 모양이기 때문에 이것과 관련된 외부 인자들도 대칭성(Symmetry)을 판단하는데 포함되어야 합니다. 한편, 사이다 캔은 회회전하는 축(Axis)에 대해서는 그 형상이 원주방향으로 대칭이 되지만 회전 축(Axis)이 아닌 바닥면에 대해서는 더 이상 그 형상이 대칭(Symmetry)이 되지 않습니다. 

공학문제에 한정하면, 어떤 문제가 대칭(Symmetry)이 되기 위해서는 기하학적으로 기준이 되는 면(Plane)이나 축(Axis)에 대하여 형상(Shape), 재질(Material), 하중조건(Load Condition) 그리고 경계조건 (Boundary Condition) 모두가 대칭(Symmetry)이 되어야 합니다. 어떠한 공학문제가 대칭성(Symmetry)을 지니고 있다면 문제의 크기는 대폭적으로 줄어들 수 있습니다. 왜냐하면 분석하고자하는 거동이 대칭(Symmetry)이 되는 기하학적 기준을 중심으로 대칭(Symmetry)이 되기 때문에 물체 전체를 대상으로 분석을 하지 않아도 되기 때문입니다. 이럴때는 대칭(Symmetry)이 되는 형상의 절반만 해석을 하더라도 물체의 변화를 예측할 수 있습니다.

예를들면, 균일 분포하중을 받는 양 단이 고정된 보(Beam)는 보의 처진 모양이 보의 중간을 기준으로 좌우가 대칭(Symmetry)이 됩니다. 따라서 보의 좌측 혹은 우측 만을 수치해석(Numerical analysis) 모델로 채택하면됩니다. 이처럼 축소된 대칭모델(Sysmmetric Model)을 사용할 경우, 대칭(Symmetry)의 기준이 되는 절단면(Plane)에는 대칭 경계조건 (Symmetry Condition)을 적용하여야 합니다. 대칭 경계조건(Symmetry Boundary Condition)은 절단면(Plane)에 수직한 방향으로 물체는 움직이지 않아야 하고, 절단면(Plane)에 평행한 방향으로는 전단응력(Shear stress)이 없어야 하는 조건이여야 합니다.

 

반사 대칭(Reflective Symmetry)

거울을 들여다 보면 자신이 모습이 그대로 나타납니다. 한가지 뚜렷한 차이는 거울 속에 비추어 지는 모습은 3차원이 아닌 2차원 평면상의 이미지라는 점입니다.이러한 차이를 무시하고 모양 그 자체만 놓고 보면 거울은 자신과 거울 속 이미지 사이의 대칭면(Symmetry Plane)역활을 합니다. 우리 주위에는 이러한 반사 대칭(Reflective symmetry)을 만족하는 물체를 쉽게 발견할 수 있습니다.

예를들어, 사각형 액자의 형상은 좌우 혹은 상하로 이등분하여 나누면 나뉘게 되는 한 쌍은 반사대칭(Reflective Symmetry)를 만족합니다. 캔 음료수나 종이컵 역시 저녕적인 반사대칭에 해당됩니다. 물론 이들은 기하학적 형상이 중심 축에 대하여 완전한 축대칭(Axisymmetry)을 나타냅니다. 이와 동시에 원주방향으로의 임의 각도를 기준으로 180도로 이등분하게 되면 나뉘게 되는 두 쪽은 언제나 반사대칭(Reflective symmetry)을 이룹니다.

지금까지 말한 대칭성(symmetry)은 기하학적 형상에만 한정한 것으로써, 공학적 의미에서 대칭은 기하학적 형상뿐만 아니라 재질(Material), 구속조건(Constraint Condition) 그리고 하중조건(Load condition) 모두가 대칭성(symmetry)을 만족해야 합니다. 따라서 반사대칭(Reflective symmetry) 역시 대칭면을 중심으로 나뉘게 되는 두 쪽은 재재질(Material), 구속조건(Constraint Condition) 그리고 하중조건(Load condition)이 모두 반사대칭(Reflective Symmetry)이 되어야 합니다. 반사대칭(Reflective Symmetry)을 이용하게 되면 대상 물체 전체가 아닌 대칭(Symmetry)이 되는 어느 한 쪽만 해석하면 되기 때문에 해석 시간을 현저히 단축 시킬 수 있습니다. 반사대칭(Reflective Symmetry)은 해석대상을 2등분에만 국한되지 않고 4등분 심지어 8등분까지 나뉘게할 수 있습니다.