찌그러진 요소(Distorted Element), 해석 용어 6

안녕하세요. 똑순이 밍쓰입니다.

찌그러진 요소 (Distorted Element)란 무엇인가?

자연계에서 발생하는 현상에 대한 근사해 (Approximate Solution)를 구하는 대표적인 수치기법인 유한요소법(Finite Element Method)에서는 근사해를 각 유한요소(Finite Element)상에서 정의되는 보간함수(Interpolation Function) 혹은 기저함수(Basis Function)들의 조합으로 표현합니다. 그리고 각 기저함수(Basis Function)들의 크기를 결정하는 상수는 행렬 방정식을 풀어서 계산합니다.

예를들어 구조물의 변형을 구하는 경우 행렬방정식은 {K}{u}={F}로 표현되는데, 여기서 {u}가 바로 구해야하는 보간함수(Interpolation Function)들의 크기 입니다. 그리고 강성행렬(Stiffness Matrix) [K]와 하중벡터(load vector) {F}는 보간함수들로 근사되는 물체의 변형률 에너지 (Strain Energy)와 하중이 한일(Work)에 비례하여 수차적분(Numerical Integraion)을 이용하여 계산됩니다.

임의 물체에 대한 요소망(Mesh)에 있어서 요소망(Mesh) 내 각 유한요소(Finite Element는 그 형상과 기하학적 좌표값이 각기 다르기 때문에 실제 요소(Element) 상에서 수치적분을 수행하는 것은 어려움이 많습니다. 그래서 컴퓨터를 이용하여 체계적으로 강성행렬(Stiffness Matrix)과 하중벡터(load vector)를 계산하기 위하여 정규화 된 마스터 요소(Master Element)를 활용하고 있습니다. 그리고 이 마스터 요소와 요소망(Mesh) 내 실제 유한요소(Finite Element) 사이의 정보 교환은 좌표변환(Geometry transformation)을 통하여 이루어 집니다.

마스터 요소와 실제 요소 사이의 좌표변환에는 자코비언(Jacobian)이 반드시 포함되어 있는데, 이것의 물리적인 의미는 1차원의 경우는 두 요소의 길이 비, 2차원의 경우는 두 요소의 면적 비 그리고 3차원의 경우에는 두 요소의 체적 비를 나타냅니다. 따라서 자코비언(Jacobian)은 물리적으로 0혹은 음(-)의 값을 가질 수 없습니다.

하지만 요소망(Mesh)을 생성하는 과정에서 요소가 지나치게 찌그러지게 되면 마스터 요소와의 좌표 변환에 있어 0혹은 음(-)의 자코비언(Jacobian)을 야기시켜 유한요소 행렬 방정식을 풀 수 없게 만듭니다. 다시말해 유한요소 해석 (Finite Element Analysis) 프로그램이 {K}{u}={F}라는 행렬방정식을 풀지 못하고 도중에 중단되어 버립니다.