요소 차수 (Element Order), 해석 용어 3

안녕하세요 똑순이 밍쓰 입니다.

 

앞선 포스팅에서 요소망(Mesh), 격자 크기(Mesh Size), 요소크기 (Element Size)에 대해서 말씀드렸는데 이해는 되셨나요 ? 앞선 개념이 이해되어야지 오늘 포스팅하는 요소차수(Element Order)에 대해서도 이해가 가능합니다.

 

요소 차수 (Element Order)

공간상에 두 점이 주어지면 하나의 직선은 직선을 그을 수 있습니다. 만약 일직선 상에 놓여있지 않은 세 점이 있다고 가정해 봅시다. 이 점들 가운데 멀리 떨어져 있는 두 점을 직선으로 연결하면 나머지 한 점은 직선으로부터 떨어져 있게 됩니다. 그렇다면 세 점을 모두 연결할 수 있는 방법에는 두 가지가 있을 수 있습니다. 첫 번째 방법은 두 개의 직선으로 세 점들을 연결하는 방법이고, 두 번째 방법은 직선이 아닌 하나의 곡선으로 세 점들을 연결하는 것입니다. 여기서 전자의 경우보다 후자의 경우가 보다 유연한 형태를 나타내게 됩니다.

이처럼 공간상에서 일직선 상에 놓여있지 않은 점들을 하나의 곡선으로 연결하면 점들의 개수가 증가 할 수록 곡선은 보다 유연한 형태가 됩니다. 두 점을 연결한 직선은 1차 함수에 해당되고, n개의 점들을 연결한 곡선은 (n-1) 차의 함수에 해당됩니다. 바꾸어 말하면 한 개의 n차 곡선을 정의하기 위해서는 (n+1) 개의 점들이 주어져야 합니다.

만일 일정한 간격 내에 한개의 직선을 그은 경우와 한 개의 n차 곡선을 그은 경우를 비교해 봅시다. 전자의 경우에는 양 끝점만 주어지면 그 사이의 점들은 자동적으로 결정되게 됩니다. 하지만 후자의 경우는 (n+1) 개의 점들이 주어져야지만 하나의 n차 곡선을 정의할 수 있습니다. 여기서 공간상의 일정한 간격은 유한요소법(Finite Element Method)에서 하나의 유한요소 (Finite Element)에 해당되고, 이 간격 내에서 정의되는 곡선은 보간 함수 (Interpolation Function)에 해당됩니다 

유한요소 해석(Finite Element analysis)에서 흔히 부르는 요소 차수(Element Order)라는 것은 바로 보간함수(Interpolation Function) 즉, 하나의 유한요소(Finite Element) 내에서 표현하고자 하는 곡선의 차수(Order)를 말합니다. 한 유한 요소(Finite Element) 내에서 높은 차수의 곡선을 사용하면 그 구간 내에서 보다 많은 점들에서의 거동 값들을 표현할 수 있습니다. 따라서 직선으로 표현하는 것보다 보다 정확하게 대상이 되는 거동을 표현할 수 있습니다.

유한요소 해석(Finite Element Analysis)에 있어 해석결과 (Analysis Result)의 정확성은 요소 차수, 격자 크기(Mesh Size) 그리고 시간 간격(Time Step)에 의해 좌우됩니다.