격자크기(Mesh Size)와 요소크기(Element Size), 해석 용어 2

격자 크기 (Mesh Size)

일정한 거리(Distance)에 높이가 다른 두 개의 성냥개비를 식으로 세운 뒤 성냥개비 끝 단을 실로 팽팽하게 연결하면 실은 비스듬하게 기울어진 직선 형태가 됩니다. 하지만 높이가 앞의 두 성냥개비와 다른 성냥개비 하나를 가운데에 추가로 설치한 후, 세 개의 성냥개비 끝 단을 실로 팽팽하게 연결하면 실은 성냥개비와 성냥개비 사이에서 기울기가 다른 비스듬한 연속적인 직선 형태가 됩니다. 이렇게 두 성냥개비 사이에 계속해서 높이가 서로 다른 성냥개비들을 추가하게 되면 실의 형태는 성냥개비 구간별로 기울기가 다른 것 보다 많은 직선들로 구성되게 됩니다.

여기서 설치되어 잇는 실의 모양이 양 끝에 설치된 성냥개비 사이의 실의 변형(Deformation) 분포를 나타낸다고 가정하면, 성냥개비 사이 각 지점에서 실의 높이는 그 지점에서의 실의 변형 값에 해당됩니다. 한편 각 성냥개비의 높이를 바꾸면 실의 높이도 바뀌게 되어 변형 분포도도 달라지게 됩니다. 더욱이 성냥개비의 개수를 증가시키면 보다 복잡한 변형 분포를 표현할 수 있습니다. 여기서 인접한 두 성냥개비의 사이의 영역이 유한요소 해석 (Finite Element Analysis)에 있어서 유한요소(Finite Element)에 해당되고 , 그 간격이 요소망(Mesh)의 크기, 즉 격자 크기(Mesh Size)에 해당됩니다.

따라서 격자 크기(Mesh Size)를 줄인다는 말은 유한요소(Finite Element)의 개수를 증가 시킨다는 뜻입니다. 그리고 앞에서 예시한 것과 같이 격자(Mesh)의 크기를 줄이면 보다 복잡한 변형 분포를 표현할 수 있기 때문에 유한요소 해석(Finite Element Analysis) 결과의 정확성을 향상할 수 있습니다. 참고로 유한요소 해석(Finite Element Analysis)의 정확성과 직결되는 다른 두 인자는 요소치수(Element Order)와 시간 간격(Time Step)의 크기입니다.

요소 크기 (Element Size)

요소망(Mesh)을 구성하는 각 유한요소 (Finite Element)의 크기를 간단히 요소 크기 (Element Size)라고 부르고 상징적인 기호로 보통 h를 사용합니다. 요소의 크기(Element Size)는 그 형상에 따라 정의하는 방식에 다소 차이가 있습니다

1차원의 경우에는 요소(Element)의 형상이 직선이기 때문에 단순히 요소(Element)의 길이가 그 요소의 크기가 됩니다. 하지만 2차원의 경우에는 사각형과 삼각형의 두 가지 요소(Element) 형상이 있고, 사각형의 경우에는 두 대각 선중에서 긴 대각선의 길이로 그리고 삼각형의 경우에는 세 번 중에서 가장 긴 변의 길이를 요소 크기(Element Size)로 정의합니다. 3차원의 경우에는 육면체, 오면체, 그리고 사면체 형상이 있고, 육면체와 오면체의 경우에는 서로 마주보는 꼭지점을 연결하는 대각선들 중에서 가장 긴 대각선의 길이를 요소 크기(Element Size)로 정의 합니다. 그리고 사면체의 경우에는 6개의 변 중에서 가장 긴변의 길이를 요소 크기(Element Size)로 정의 합니다. 

한편 요소 크기(Element Size)는 요소망의 밀도(Mesh Density)와 요소(Element)의 개수에 밀접한 관계가 있습니다. 왜냐하면 정해진 임의 물체 형상을 작은 영역으로 나눈 하나하나가 유한요소 (Finite Element)이기 때문에 요소 크기(Element Size)가 줄어든다는 것은 요소(Element)의 개수가 늘어남을 의미하게 되어 요소망(Mesh)의 밀도가 커지게 되는 것입니다. 다시 말해, 요소 크기(Element Size)가 줄어들면 요소(Element)의 개수와 요소망(Mesh)의 밀도(Density)는 커지게 되고, 요소 크기(Element Size)가 커지게 되면 요소(Element)의 개수와 요소망(Mesh)의 밀도(Density)는 작아지게 됩니다. 요소크기(Element Size)는 유한요소 해석(Finite Element Analysis) 결과의 정확성에 영향을 미치는 매우 중요한 인자입니다. 이론적으로 해석 결과의 정확도는 요소 크기(Element Size)가 작아질수록 비례적으로 증가하게 됩니다.

사면체 요소 (tetrahedron element)

유한요소 해석을 위해 물체가 차지하고 잇는 기하학적 영역을 세분화시키는 요소망(Mesh) 생성에 필요한 유한요소(Finite Element)의 한 종류입니다. 유한요소는 차원, 형상 및 차수에 따라 분류 할 수 있는데, 사면체 요소는 3차원 요소들 중에서 가장 기본이 되는 유형으로서, 쐐기 형상으로 4애의 면으로 구성되어 있다. 사면체 요소는 차수에 따라 1차 요소는 각 꼭지점에 하나씩 절점을 지닌 4절점 요소 그리고 2차 요소는 각 꼭지점과 변에 하나씩 절점을 가진 10절점 요소로 다시 구분이 됩니다.

사면체 요소는 임의 형상을 지닌 3차원 물체의 요소망 생성에 반드시 필요한 기본적이 요소입니다. 왜냐하면 오면체와 육면체 요소만으로는 요소망을 생성할 수 없는 경우가 종종 발생하기 때문입니다. 예를 들어 3차원 구 형상의 물체를 오면체와 육면체 요소로 세분화 하는 경우를 생각해 보면 쉽게 이해할 수 있을 것 입니다.

사면체 요소 중에서 1차 요소에 해당되는 4절점 요소는 일정 변현률 요소 (Constant Strain Element)의 한 유형으로서, 물체 변형에 따른 변형률(Strain)이 요소 내에서 일저한 값을 가지게 됩니다. 그 결과 잠김현상(Locking Phenomenon)과 같은 해석 정확도 (Analysi Accuracy)가 떨어지게 됩니다. 따라서 절점 사면체 요소는 불가피한 상황이 아닌 경우에는 사용하지 않는 것이 좋습니다.