경계조건(Boundary Condition)과 초기조건 (Initial Condition) - 기구설계 이론 15

안녕하세요. 똑순이밍쓰입니다.

 

경계조건(Boundary Condition)

물체의 외곽 전체를 경계(Boundary)라고 부르는데, 1차원 물체의 경우에는 물체의 양 끝점이 경계(Boundary)에 해당합니다. 2차원 물체의 경우에는 물체의 외곽 테두리 곡선 전체 그리고 3차원의 경우에는 물체의 외곽 곡면 전체가 경계에해당합니다. 모든 물체는 3차원 형상으로 되어 있기 때문에 여기서 1차원 혹은 2차원 물체라고 말하는 것은 3차원 형상을 1차원의 직선 혹은 2차원의 평면으로 가정한 간략화 된 형상을 의미 합니다.

지구상의 모든 물체는 그 경계(Boundary)에서 어떠한 형태의 매질 (고체, 액체, 기체 혹은 진공)일지라도 다른 물체들과 항상 접촉하고 있습니다. 따라서 임의 한 물체는 경계(Boundary)를 통해 외부 다른 물체들로부터 힘(Force), 모멘트(Moment), 열(Heat) 등과 같은 다양한 형태의 영향을 받게 됩니다. 외부와 접촉하고 있는 임의 한 물체의 거동을 파악하기 위하여 이 물체를 외부와 분리 시킬 경우, 외부로부터 받는 영향들은 경계조건(Boundary Condition)으로 물체에 반영되어야 합니다.

동일한 형상과 재질로 된 물체 일지라도 그 거동은 경계조건(Boundary Condition)에 따라서 많은 차이가 발생하기 때문에 물체를 분석함에 있어서 매우 중요한 역활을 하게 됩니다. 외부로부터 받은 영향들 중에서 어떤 것들이 경계조건(Boundary Condition)으로 포함되어야 할 것인가는 파악하과 하는 물체의 거동이 어떤 유형인가에 따라서 결정됩니다. 만약 물체의 온도 변화에 관심이 있다면 온도변화에 영향을 미치는 외부 물체의 온도와 외부로부터의 열 유입이 경계조건(Boundary Condition)으로 포함 되어야 합니다.

어떠한 형태의 경계조건(Boundary Condition)이라고 하더라도 모든 경계조건 (Boundary Condition)은 크게 변위 경계조건 (Displacement Boundary Condition)과 하중경계조건(Traction Boundary Condition)으로구분이됩니다. 여기서 변위(Displacement)와 하중(Traction)이란 용어는 비단 구조물의 변위와 힘만을 의미 하는 것이 아니고 상징적인 의미를 가집니다. 예를들어 열전달 문제에서 변위는 온도에 해당하고 하중은 열흐름에 해당됩니다.

 

마지막으로 중요한 사항은 경계(Boundary)의 모든 부분에는 반드시 변위(Displacement) 혹은 하중경계조건(Traction Boundary Condition)이 부여되어야 하며, 조건값이 0인 경우도 경계조건(Boundary Condition)이란 점을 잊어서는 안됩니다. 그리고 변위조건(Displacement Condition)이 부여되면 그 경계지점(Boundary Point)에서의 하중값(Traction)은 미지수가되고, 반대로 하중조건(Traction Condition)이 부여되면 그 경계지점(Boundary Point)에서의 변위값(Displacement)은 미지수가 됩니다.

 

초기조건(Initial Condition)

돌을 세게 던지면 보다 멀리 날아간다는 사실은 누구나 익히 알고 있는 사실 입니다. 그리고 일정한 질량을 가지고 있는 돌을 던졌을 때 날아가는 거리를 계싼하기 위해서는 돌의 운동을 표현하는 운동방정식을 풀어야합니다.

 

물체의 운동방정식은 물체의 공간상의 위체에 대한 2차 시간미분으로 표현되며, 시간에 대한 2번 적분해야 합니다. 수학적인 정의로부터 2차 미분방정식을 2번 적분하게 되변 2개의 적분상수가 나오게되며, 이 적분상수를 경정하여야 하나의 해답을 구할 수 있습니다.

 

이경우 적분상수를 결정하기 위해 사용되는 조건이 바로 초기조건(Initioal Condition)에 해당됩니다. 위 문제의 경우 2개의 초기조건(Initioal Condition)은 각각 돌의 초기위치(Initial Position)와 초기속도(Initial velocity)가 됩니다. 일반적으로 n차 미분방정식인 경우 초기조건은 n개가되며 (n-1)차 미분까지 변수들의 초기 시점에서의 값으로 정의 됩니다.

 

참고로 이와 같이 물체의 거동이 시간에 따라 변화하고 초기조건Initial Condition에 의해 하나의 해답이 결정되는 문체를 초기치문제(Initial value problem)라고 부릅니다. 초기치 문제(Initial value problem)와 구분되는 문제로 경계치 문제(Boundary value problem)가 있으며, 이 문제의 해답은 물체의 경계(Boundary)에서의 경계조건(Boundary Condition)이라 불리는 구속 조건에 의해서 결정됩니다.

 

그리고 물체의 거동이 시간과 공간 좌표 모두에 의해 표현되며, 초기 및 경계조건(Boundary Condition)에 의해 하나의 해답이 결정되는 문제를 초기치-경계치 문제(Initial and Boundary value problem)이라고 부르며, 거의 대부분의 동해석(Dynamic analysis) 문제들은 이 유형에 속합니다.